Seja

f(x) = 2 - |2x - 1|

Mostre que não existe um valor c tal que

f(3) - f(0) = f'(c) * (3 - 0)

Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?

Passo 1

Opa! Vamos pra mais um exercício?!

Dessa vez temos a seguinte função:

f x = 2 - 2 x - 1

Agora temos que mostrar que não existe um valor c tal que

f 3 - f 0 = f ' ( c ) ( 3 - 0 )

E depois temos que explicar por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio!

E pra fazer isso vamos relembrar o que diz o teorema do valor médio:

Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:

  1. f é contínua no intervalo fechado de [ a ,   b ] ;
  2. f é diferenciável no intervalo aberto de a ,   b ;
  3. Então há um número c no intervalo aberto ( a ,   b ) onde

f ' c = f b - f a b - a

Bora ver isso acontecendo então.

Passo 2

O enunciado nos diz que não temos:

f 3 - f 0 = f ' ( c ) ( 3 - 0 )

Bem, pra provar que a expressão acima não existe vamos tentar primeiro calcular ela!

Sendo assim, precisaremos de cada pedacinho dela para substituir. Assim, sendo:

f x = 2 - 2 x - 1

Podemos começar por f 3 - f 0 . Substituindo 3 e 0 na função f :

f 3 = 2 - 2.3 - 1 = - 3

f 0 = 2 - 2.0 - 1 = 1

Sendo assim:

f 3 - f 0 = - 3 - 1 = - 4

Passo 3

Agora vamos resolver o lado direito da equação, precisamos calcular f ' . E como o termo 2 x - 1 está dentro do módulo ele pode ser maior ou menor que zero. Assim, pela definição de módulo, temos que:

2 x - 1 = 2 x - 1 > 0 → x ≥ 1 2     2 x - 1 ≤ 0 → x < 1 2

E nossa função é:

f x = 2 - 2 x - 1

Então, podemos escrever

f x = 2 - 2 x - 1 = 3 - 2 x ,     s e   x ≥ 1 2     2 + 2 x - 1 = 1 + 2 x ,         s e   x < 1 2

Derivando:

f ' x = - 2 ,     s e   x ≥ 1 2     2 ,                     s e   x < 1 2

Como podemos ver, f ( x ) não é diferenciável em x = 1 2 , portanto, o teorema do valor médio não é aplicável em um intervalo que contenha x = 1 2 .

Temos duas derivadas possíveis. No lado direito da igualdade, temos que:

3 - 0 = 3

Para s e   x ≥ 1 2 :

f ' c 3 - 0 = - 2.3 = - 6

E para x < 1 2 :

f ' c 3 - 0 = 2.3 = 6

Para qualquer valor de x :

f 3 - f 0 ≠ f ' ( c ) ( 3 - 0 )

Passo 4

Conseguimos provar que f 3 - f 0 ≠ f ' ( c ) ( 3 - 0 ) , mas como isso não contradiz o Teorema do Valor Médio!?

Antes de qualquer coisa vamos relembrar o que diz esse teorema:

“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:

  1. f é contínua no intervalo fechado de [ a ,   b ] ;
  2. f é diferenciável no intervalo aberto de a ,   b ;
  3. Então há um número c no intervalo aberto ( a ,   b ) onde

f ' c = f b - f a b - a

Ou seja, segundo o Teorema do Valor Médio:

f b - f a = f ' ( c ) ( b - a )

E temos:

f 3 - f 0 ≠ f ' ( c ) ( 3 - 0 )

O intervalo aqui é 0,3 e a nossa função pode ser escrita como:

f x = 2 - 2 x - 1 = 3 - 2 x ,     s e   x ≥ 1 2     2 + 2 x - 1 = 1 + 2 x ,         s e   x < 1 2

Repara que não podemos dizer que f é contínua e diferençável dentro do intervalo dado! Dessa forma como a nossa função não está satisfazendo as condições iniciais do Teorema do Valor médio, então não estamos o contradizendo!

Resposta

Se f ' c não existite, isto não contradiria o Teorema!

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