Seja

Mostre que não existe um valor c tal que

Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?

O enunciado nos diz que não temos:

Bem, pra provar que a expressão acima não existe vamos tentar primeiro calcular ela!

Sendo assim, precisaremos de cada pedacinho dela para substituir. Assim, sendo:

Podemos começar por Substituindo e na função :

Sendo assim:

Agora vamos resolver o lado direito da equação, precisamos calcular . E como o termo está dentro do módulo ele pode ser maior ou menor que zero. Assim, pela definição de módulo, temos que:

E nossa função é:

Então, podemos escrever

Derivando:

Como podemos ver, não é diferenciável em , portanto, o teorema do valor médio não é aplicável em um intervalo que contenha .

Temos duas derivadas possíveis. No lado direito da igualdade, temos que:

Para

E para

Para qualquer valor de

Conseguimos provar que , mas como isso não contradiz o Teorema do Valor Médio!?

Antes de qualquer coisa vamos relembrar o que diz esse teorema:

“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:

1. é contínua no intervalo fechado de ;
2. é diferenciável no intervalo aberto de ;
3. Então há um número no intervalo aberto onde

”

Ou seja, segundo o Teorema do Valor Médio:

E temos:

O intervalo aqui é e a nossa função pode ser escrita como:

Repara que não podemos dizer que é contínua e diferençável dentro do intervalo dado! Dessa forma como a nossa função não está satisfazendo as condições iniciais do Teorema do Valor médio, então não estamos o contradizendo!