Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 16
Seja
Mostre que não existe um valor c tal que
Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?
Passo 1
Opa! Vamos pra mais um exercício?!
Dessa vez temos a seguinte função:
Agora temos que mostrar que não existe um valor tal que
E depois temos que explicar por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio!
E pra fazer isso vamos relembrar o que diz o teorema do valor médio:
Sendo a função que satisfaça às seguintes condições:
- é contínua no intervalo fechado de ;
- é diferenciável no intervalo aberto de ;
- Então há um número no intervalo aberto onde
Bora ver isso acontecendo então.
Passo 2
O enunciado nos diz que não temos:
Bem, pra provar que a expressão acima não existe vamos tentar primeiro calcular ela!
Sendo assim, precisaremos de cada pedacinho dela para substituir. Assim, sendo:
Podemos começar por Substituindo e na função :
Sendo assim:
Passo 3
Agora vamos resolver o lado direito da equação, precisamos calcular . E como o termo está dentro do módulo ele pode ser maior ou menor que zero. Assim, pela definição de módulo, temos que:
E nossa função é:
Então, podemos escrever
Derivando:
Como podemos ver, não é diferenciável em , portanto, o teorema do valor médio não é aplicável em um intervalo que contenha .
Temos duas derivadas possíveis. No lado direito da igualdade, temos que:
Para
E para
Para qualquer valor de
Passo 4
Conseguimos provar que , mas como isso não contradiz o Teorema do Valor Médio!?
Antes de qualquer coisa vamos relembrar o que diz esse teorema:
“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:
- é contínua no intervalo fechado de ;
- é diferenciável no intervalo aberto de ;
- Então há um número no intervalo aberto onde
”
Ou seja, segundo o Teorema do Valor Médio:
E temos:
O intervalo aqui é e a nossa função pode ser escrita como:
Repara que não podemos dizer que é contínua e diferençável dentro do intervalo dado! Dessa forma como a nossa função não está satisfazendo as condições iniciais do Teorema do Valor médio, então não estamos o contradizendo!
Resposta
Se não existite, isto não contradiria o Teorema!