Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 4
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle sobre o intervalo dado. Então encontre todos os numero que satisfazem a conclusão do teorema de Rolle.
Passo 1
Oieee, bora resolver mais uma comigo
Para verificar que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo precisamos verificar que:
1. é contínua em
2. é diferenciável em
3. .
Depois, vamos encontrar os n��meros que satisfazem a conclusão do teorema, que é
Vamos verificação das Hipóteses
Continuidade de em
A função é composta de funções contínuas (a função identidade e a função raiz quadrada .
A função raiz quadrada é contínua para .
Portanto, é contínua em .
Passo 2
Diferenciabilidade de em
A função é diferenciável onde sua derivada existe e é finita.
Para é diferenciável.
Portanto, é diferenciável em
Igualdade dos valores da função nas extremidades:
Vamos calcular
Portanto,
Passo 3
Aplicação do Teorema de Rolle:
Como satisfaz todas as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo sabemos que existe pelo menos um número tal que
Vamos encontrar
Vamos encontrar a derivada de .
Usamos a regra do produto para derivar
Seja
Derivamos e :
Passo 4
Aplicamos a regra do produto:
Simplificamos a expressão:
Passo 5
Para encontrar os valores de que satisfazem
O numerador deve ser zero:
Portanto, o número que satisfaz a conclusão do Teorema de Rolle no intervalo é: