Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.20. x 3 + e x = 0

Enunciado

Oi meus queridos.

Nessa questão temos a seguinte equação:

E queremos provar que ela só possui uma raiz real.

Para isso, vamos usar o TVI (Teorema do Valor Intermediário).

Como a nossa função é contínua, podemos usa-lo e dizer que se tem um valor da função

E um valor da função onde:

Então certamente tem um valor , onde a função é igual a zero:

Dessa forma, precisamos encontrar aonde a função inverte de sinal, ou seja, vai ser uma boa fazer um estudo de sinais da nossa função.

Nossa função é dada pela soma de dois termos:

A exponencial é uma função que é constante independente do valor de que você colocar nela.

Já a função será positiva se for positivo e será negativa se for negativo.

Dessa forma, podemos dizer com certeza que a função é positiva para positivo:

E o que ocorre se o for exatamente zero?

Vamos verificar agora o que ocorre em negativo.

Nós já sabemos que a função é positiva para positivo, e também é positiva em .

Como queremos encontrar aonde a função inverte de sinal, vamos procurar pelos valores onde:

Ou seja,

Aqui, nós vamos ter que lembrar dos gráficos dessas funções.

O gráfico de é aquele assim ó:

E o gráfico de é o da exponencial, como queremos o de , vamos refleti-lo ao redor do eixo e obter:

Percebe que existe um valor de negativo onde a função fica menor que a função e que essa inversão de quem é maior que quem só ocorre em um ponto.

Vou plotar os dois juntos para você ver:

Portanto, pelo TVI, essa equação só possui uma raiz real.

De acordo com o TVI, a equação dada só possui uma raiz real.