Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 20
Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.
20.
Passo 1
Oi meus queridos.
Nessa questão temos a seguinte equação:
E queremos provar que ela só possui uma raiz real.
Para isso, vamos usar o TVI (Teorema do Valor Intermediário).
Como a nossa função é contínua, podemos usa-lo e dizer que se tem um valor da função
E um valor da função onde:
Então certamente tem um valor , onde a função é igual a zero:
Dessa forma, precisamos encontrar aonde a função inverte de sinal, ou seja, vai ser uma boa fazer um estudo de sinais da nossa função.
Passo 2
Nossa função é dada pela soma de dois termos:
A exponencial é uma função que é constante independente do valor de que você colocar nela.
Já a função será positiva se for positivo e será negativa se for negativo.
Dessa forma, podemos dizer com certeza que a função é positiva para positivo:
E o que ocorre se o for exatamente zero?
Passo 3
Vamos verificar agora o que ocorre em negativo.
Nós já sabemos que a função é positiva para positivo, e também é positiva em .
Como queremos encontrar aonde a função inverte de sinal, vamos procurar pelos valores onde:
Ou seja,
Aqui, nós vamos ter que lembrar dos gráficos dessas funções.
O gráfico de é aquele assim ó:
E o gráfico de é o da exponencial, como queremos o de , vamos refleti-lo ao redor do eixo e obter:
Percebe que existe um valor de negativo onde a função fica menor que a função e que essa inversão de quem é maior que quem só ocorre em um ponto.
Vou plotar os dois juntos para você ver:
Portanto, pelo TVI, essa equação só possui uma raiz real.
Resposta
De acordo com o TVI, a equação dada só possui uma raiz real.