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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 14

Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.

14. f → x , y = ( x 2 y , x y ) ; C é o segmento de reta que une o ponto ( 0,0 ) ao ponto ( 4,2 ) .

Passo 1

Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y d r →

E a nossa força f → x , y é dada por:

f → x , y = ( x 2 y , x y )

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa. Bora tratar de parametrizar a curva C , que é dada através do segmento de reta que une o ponto ( 0,0 ) ao ponto ( 4,2 ) .

Primeiro vamos esboçar, né; essa curva:

Como sabemos, devemos parametrizar essa curva. Conhecendo o fato de que C é uma reta... Toda reta pode ser parametrizada da forma:

x = x 0 + a t

y = y 0 + b t

z = z 0 + c t

Onde x 0 ,   y 0 é um ponto da reta... No caso pode ser o próprio ponto A 0,0 :

x = x 0 + a t

x = a t

y = y 0 + b t

y = b t

Quanto ao ( a ,   b ) ele nada mais é do que o vetor direção da retinha e pode ser encontrado pela subtração entre os pontos B e A :

a ,   b = 4,2 - ( 0,0 )

a ,   b = 4,2

Beleza! Nossa curva parametrizada vai ser então, dada por:

γ t = ( 4 t , 2 t )

Passo 2

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

f → x , y = ( x 2 y , x y )

Assim, bora tratar de fazer a troca:

f → x , y = 4 t 2 ⋅ 2 t , 4 t ⋅ ( 2 t )

f → x , y = 32 t 3 , 8 t 2

Passo 3

Seguindo nosso raciocínio. O passo número três consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de γ t . Vamos lá:

γ ' t = ( 4,2 )

Passo 4

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y d r →

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Presta atenção! Para encontrar os limites de integração, basta apenas substituir valores de   t quaisquer e ver quais deles irão satisfazer o ponto A e B do enunciado:

Vamo lá. Testemos t = 0 :

x = 4 t = 4 ⋅ 0 = 0

y = 2 t = 2 ⋅ 0 = 0

Ia lá! Esse é ponto A . Bora ver agora, para t = 1 :

x = 4 t = 4 ⋅ 1 = 4

y = 2 t = 2 ⋅ 1 = 2

Esse é o ponto B . Nosso limite de integração vai de 0 até 1 , portanto:

∫ 0 1 f → x , y d r → = ∫ 0 1 32 t 3 , 8 t 2 ∙ 4,2 d t =

= ∫ 0 1 128 t 3 + 16 t 2 d t =

= 128 t 3 + 1 3 + 1 + 16 t 2 + 1 2 + 1 0 1 = 32 t 4 + 16 3 t 3 0 1 =

= 32 + 16 3 =

= 32 ⋅ 3 + 16 3 = 112 3

Resposta

112 3

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