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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 16.3 - Ex. 19

Mostre que a integral de linha é independente e calcule a integral.

∫ C 2 x s e n   y   d x + ( x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 ) d y

C é qualquer caminho de ( - 1,0 ) a ( 5,1 )

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar que aquela integral independe do caminho precisamos saber se o campo vetorial F → é conservativo.

Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ 2 x s e n   y ∂ y = 2 x c o s y

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 ∂ x = 2 x c o s y

Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

E temos que o valor da integral de caminho vai depender apenas da função potencial aplicada nos pontos final e inicial.

Passo 2

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F x / ∂ x e integrar em relação à x :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ ( 2 x s e n   y ) d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , digamos g ( y ) (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = x 2 s e n y + g ( y )

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 3

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = x 2 c o s y + g ' ( y )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = x 2 cos ⁡ y - 3 y 2

E agora vamos igualar os dois lados!

x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 = x 2 c o s y + g ' ( y )

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

g ' x = - 3 y 2

∫ g ' ( y ) d y = ∫ - 3 y 2 d y = - 3 y 3 3 + C

g y = - y 3 + C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = x 2 s e n y - y 3 + C

Passo 4

Show! Agora temos que o ponto inicial é ( - 1,0 ) e a função nesse ponto é:

f - 1,0 = - 1 2 s e n 0 - 0 3 + C = C

Agora temos que o ponto inicial é ( 5,1 ) e a função nesse ponto é:

f 5,1 = 5 2 s e n 1 - 1 3 + C = 25 s e n 1 - 1 + C

Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:

∫ C F → ⋅ d r → = f f i n a l - f i n i c i a l = 25 s e n 1 - 1 + C - C = 25 s e n 1 - 1

É isso! O valor de ∫ C F → ⋅ d r → é 25 s e n 1 - 1 !

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = 25 s e n 1 - 1

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