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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 12

Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.

12. f → x , y , z = ( x 2 , 1 / y , x z ) ; C é o segmento de reta que une o ponto A ( 2,1 , 0 ) ao ponto B ( 0,2 , 2 ) .

Passo 1

Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y , z d r →

E o nosso campo vetorial f → x , y , z é dado por:

f → x , y , z = ( x 2 , 1 / y , x z )

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa. Bora tratar de parametrizar a curva C , que é dada através do segmento de reta que une o ponto A ( 2,1 , 0 ) ao ponto B ( 0,2 , 2 ) .

Primeiro vamos esboçar, né; essa curva:

Como sabemos, devemos parametrizar essa curva. Conhecendo o fato de que C é uma reta... Toda reta pode ser parametrizada da forma:

x = x 0 + a t

y = y 0 + b t

z = z 0 + c t

Onde x 0 ,   y 0 ,   z 0 é um ponto da reta... No caso pode ser o próprio ponto A 2,1 , 0 :

x = x 0 + a t

x = 2 + a t

y = y 0 + b t

y = 1 + b t

z = c t

Quanto ao ( a ,   b ,   c ) ele nada mais é do que o vetor direção da retinha e pode ser encontrado pela subtração entre os pontos B e A :

a ,   b ,   c = 0,2 , 2 - ( 2,1 , 0 )

a ,   b ,   c = - 2,1 , 2

Beleza! Nossa curva parametrizada vai ser então, dada por:

γ t = ( 2 - 2 t , 1 + t , 2 t )

Passo 2

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

f → x , y , z = x 2 , 1 y , x z

Assim, bora tratar de fazer a troca:

f → x , y , z = 2 - 2 t 2 , 1 1 + t , 2 t 2 - 2 t

f → x , y , z = 2 - 2 t 2 , 1 1 + t , 4 t - 4 t 2

Passo 3

Seguindo nosso raciocínio. O passo número três consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de γ t . Vamos lá:

γ ' t = ( - 2,1 , 2 )

Passo 4

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y d r →

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Presta atenção! Para encontrar os limites de integração, basta apenas substituir valores de   t quaisquer e ver quais deles irão satisfazer o ponto A e B do enunciado:

Vamo lá. Testemos t = 0 :

x = 2 - 2 t = 2 - 2 ⋅ 0 = 2

y = 1 + t = 1 + 0 = 1

z = 2 t = 2 ⋅ 0 = 0

Ia lá! Esse é ponto A . Bora ver agora, para t = 1 :

x = 2 - 2 t = 2 - 2 ⋅ 1 = 0

y = 1 + 1 = 1 + 1 = 2

z = 2 t = 2 ⋅ 1 = 2

Esse é o ponto B . Nosso limite de integração vai de 0 até 1 , portanto:

∫ 0 1 f → x , y d r → = ∫ 0 1 2 - 2 t 2 , 1 1 + t , 4 t - 4 t 2 ∙ - 2,1 , 2 d t

∫ 0 1 - 2 2 - 2 t 2 + 1 1 + t + 2 ( 4 t - 4 t 2 ) d t =

= ∫ 0 1 - 8 + 16 t - 8 t 2 + 1 1 + t + 8 t - 8 t 2 d t =

= ∫ 0 1 - 8 + 24 t - 16 t 2 + 1 1 + t d t = - 8 t + 12 t 2 - 16 t 3 3 + l n ⁡ ( 1 + t ) 0 1 =

= - 8 + 12 - 16 3 + ln ⁡ 2 = - 4 3 + ln ⁡ 2

Resposta

- 4 3 + ln ⁡ 2

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Use uma calculadora ou um SCA para calcular a integral de linha correta até a quarta casa decimal. ∫ C F ∙ d r , onde F x ,y ,z = ys e nzi + zs e nxj + xs e nyk e r t = cos ⁡ t i + s e ntj + s e n 5 t