Enunciado

Nos exercícios 65 e 66, determine o valor exato da função:

66 .     d tg ⁡ 5 8 π

Passo 1

Para resolver esse exercício precisamos lembrar de quatro coisas:

  1. A identidade trigonométrica de soma dos ângulos:
  2. s e n   x + y = s e n   x cos ⁡ y + cos ⁡ x s e n   y

    cos ⁡ x + y = cos ⁡ x cos ⁡ y - s e n x   s e n   ( y )

  3. Identidade arco metade:
  4. cos ⁡ x 2 =   1 + cos ⁡ ( x ) 2

    s e n   x 2 = 1 - cos ⁡ ( x ) 2  

  5. A tabelinha super importante de onde tiraremos o nosso resultado.
  6. Quem é tangente.

t g   x = s e n   x cos ⁡ x

Sabendo disso temos tudo o que precisamos.

Passo 2

tg ⁡ 5 8 π = s e n   5 8 π cos ⁡ 5 8 π

Vamos reescrever os termos de modo que fique mais simples de analisarmos:

s e n   5 8 π cos ⁡ 5 8 π =   s e n   π 8 + π 2 cos ⁡ π 8 + π 2

= s e n   π 8 cos ⁡ π 2 + cos ⁡ π 8 s e n   π 2 cos ⁡ π 8 cos ⁡ π 2 - s e n π 8   s e n   ( π 2 )

Substituindo alguns valores que já estão bem decoreba:

= s e n   π 8 ⋅ 0 ⁡ + cos ⁡ π 8 ⋅ 1 cos ⁡ π 8 ⋅ 0 ⁡ -   s e n π 8 ⋅ 1

= cos ⁡ π 8 -   s e n π 8  

= cos ⁡ π 4 2 -   s e n π 4 2

Passo 3

Agora usaremos a identidade lembrada segundo termo do Passo 1:

cos ⁡ π 4 2 -   s e n π 4 2 = 1 + cos ⁡ π 4 2 - 1 - cos ⁡ π 4 2

Chegamos a algo que a nossa tabelinha querida nos dá, cos ⁡ π 4 , agora é só substituir o valor e temos o que queremos.

Passo 4

1 + cos ⁡ π 4 2 - 1 - cos ⁡ π 4 2 =   1 + 2 2 2 - 1 - 2 2 2

=   2 + 2 4 - 2 - 2 4

= 2 + 2 2 - 2 - 2 2  

= 2 + 2 2 ⋅   - 2 2 - 2

= - 2 + 2 2 - 2

Resposta

tg ⁡ 5 8 π = - 2 + 2 2 - 2  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine imagem e período da função f : R - R d a d a p o r f (x) = - 1 + 2 cos (3 x - (pi)/(4))
f : R - R d a d a p o r f (x) = |c o s x|
Determine o período da função y = 3 cos 4 x
f : R - R d a d a p o r f (x) = 1 + 2 c o s 3 x
f : R - R d a d a p o r f (x) = 2 c o s (x - (pi)/(3))