Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.7 - Ex. 17
Nos Exercícios 17-24, encontre a excentricidade da hipérbole. Em seguida, encontre e desenhe os focos e diretrizes da hipérbole.
Passo 1
Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?
Primeiramente, nosso objetivo será reescrever a equação da hipérbole dada na sua forma reduzida, que tem o seguinte formato:
A partir disso, teremos as medidas dos e , e poderemos obter, pelo Teorema de Pitágoras, a medida do foco . Para, enfim, determinarmos a excentricidade, os focos e as diretrizes da hipérbole.
Cumprindo isso, poderemos traçar o gráfico, com auxílio de um software, destacando os pontos relevantes da hipérbole.
Simbora?
Passo 2
Pegando a equação dada, vamos simplifica-la, dividindo todos termos por 1:
Assim, temos,
Lembrando que entre os denominadores, o valor de é sempre o do eixo maior.
Como, por Pitágoras:
Então,
Sendo assim, a excentricidade da hipérbole é:
Os focos da hipérbole são dados por , logo:
Já as diretrizes da hipérbole são dadas por , logo:
Passo 3
Traçando o gráfico da hipérbole, temos:
Onde os pontos em preto são os focos e as linhas em azul são as diretrizes.
Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!
Resposta
Excentricidade: . Foco: . Diretrizes: .