Desenhe as retas e seções cônicas nos Exercícios 65-74.

r = 3 * sec(θ - pi/3)

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será usar as transformações de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, para encontrar a equação cartesiana da equação polar dada. Para isso podemos fazer uso das seguintes relações:

x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Por fim, com auxílio de software, podemos traçar o esboço da equação cartesiana encontrada.

Bora lá?

Passo 2

De início, sabendo que sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x , podemos dizer que:

r = 3 sec ⁡ θ - π 3   ⟹ r = 3 c os ⁡ θ - π 3   ⟹ r cos ⁡ θ - π 3 = 3

Veja que a equação encontrada, apresenta uma diferença entre dois arcos, portanto usaremos a seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ x - y = cos ⁡ x ∙ cos ⁡ y + sen ⁡ x ∙ sen ⁡ y

Logo,

r cos ⁡ θ - π 3 = 3   ⟹ r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ π 3 + sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ π 3 = 3  

Aplicando a distributiva, temos:

r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ π 3 + r sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ π 3 = 3

Usando as relações citadas no passo 1 e determinando os valores conhecidos, temos:

x ∙ 1 2 + y ∙ 3 2 = 3

Multiplicando ambos os lados por 2 , têm-se:

x + 3 y = 6

Encontramos assim, nossa equação em coordenadas cartesianas e ela representa uma reta.

Passo 3

Agora, traçando o gráfico da equação, com auxílio de um software, obtemos:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

x + 3 y = 6 .

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