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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.2 - Ex. 61

Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe.

f x , y = x 3 - x y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos verificar se os limites existem!

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 - x y 2 x 2 + y 2

Vamos substituir x por r c o s   θ e y por r s e n   θ para simplificar,

lim r → 0 ⁡ r c o s   θ 3 - r c o s   θ ( r s e n   θ ) 2 r c o s   θ 2 + ( r s e n   θ ) 2

Da relação fundamental da trigonometria, r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = r 2

lim r → 0 ⁡ r 3 cos 3 ⁡ θ - r 3 c o s   θ   s e n 2   θ r 2 = 0

Resposta

O limite é 0

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Sabendo que sen ⁡ 1 x ≤ 1 , você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ y sen ⁡ 1 x Justifique sua resposta.
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