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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.2 - Ex. 64

Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe.

f x , y = 2 x x 2 + x + y 2

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos verificar se os limites existem!

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x x 2 + x + y 2

Vamos substituir x por r cos ⁡ θ e y por r s e n   θ para simplificar,

lim r → 0 ⁡ 2 r cos ⁡ θ r cos ⁡ θ 2 + r cos ⁡ θ + ( r sen ⁡ θ ) 2

Da relação fundamental da trigonometria, r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = r 2

lim r → 0 ⁡ 2 r cos ⁡ θ r 2 + r c o s   θ

lim r → 0 ⁡ 2 cos ⁡ θ r + c o s   θ   = 2 cos ⁡ θ 0 + c o s   θ

Caso cos ⁡ θ = 0 , então o limite não existe, pois 0 não pode ser denominador, caso contrário, o limite vale 2.

Resposta

Caso cos ⁡ θ = 0 , então o limite não existe, caso contrário, o limite vale 2.

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Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = cos ⁡ x 3 - y 3 x 2 + y 2
Sabendo que cos ⁡ 1 y ≤ 1 , você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ x cos ⁡ 1 y Justifique sua resposta.
Releia o Exemplo 5. Substitua m = tg θ na fórmula f x , y ​ y = m x = 2 m 1 + m 2 E simplifique o resultado para mostrar como o valor de f varia de acordo com o ângulo de inclinação da retaUtilize a f
Extensão contínua Defina f (0, 0) de maneira a estender f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2 A uma função continua na origem.
Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = tg - 1 ⁡ x + y x 2 + y 2