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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.6 - Ex. 50

Nos Exercícios 33-38, encontre a linearização L(x, y) da função ƒ(x, y) em P0. Em seguida, encontre um limitante superior para a magnitude |E| do erro na aproximação ƒ(x, y) ≈ L(x, y) sobre o retângulo R.

f x , y = 1 2 x 2 + x y + 1 4 y 2 + 3 x - 3 y + 4

P 0 ( 2 , 2 )

R : x - 2 ≤ 0,1

y - 1 ≤ 0,1

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! O processo de linearização se dá por uma formula dada por:

L x , y = f X 1 , Y 1 + f x X 1 , Y 1 x - X 1 +   f y ( X 1 , Y 1 ) ( y - Y 1 )

No ponto:

P ( X 1 , Y 1 )

Dando nome aos bois,

f X 1 , Y 1 = f u n ç ã o   f x , y   a p l i c a d a   a o   p o n t o   P ( X 1 , Y 1 )

f x X 1 , Y 1 = d e r i v a d a   p a r c i a l   e m   x   d a   f u n ç ã o   f x , y   a p l i c a d a   a o   p o n t o   P X 1 , Y 1 .  

f y X 1 , Y 1 = d e r i v a d a   p a r c i a l   e m   y   d a   f u n ç ã o   f x , y   a p l i c a d a   a o   p o n t o   P X 1 , Y 1 .  

Show, sabendo disso, vamos calcular a linearização da função no ponto dado.

f x , y = 1 2 x 2 + x y + 1 4 y 2 + 3 x - 3 y + 4

P 0 ( 2 , 2 )

Ou seja,

L x , y = f X 1 , Y 1 + f x X 1 , Y 1 x - X 1 +   f y ( X 1 , Y 1 ) ( y - Y 1 )

L x , y = 11 + 7 x - 2 + 0 y - 2

L 2,2 = 7 x - 3

Passo 2

Agora, para calcular o erro na aproximação, temos que:

E ( x , y ) ≤ 1 2 1 x - 2 + y - 1 2

Portanto, para o retângulo R:

E ( x , y ) ≤ 1 2 0.1 + 0.1 2 = 0.0 2

Resposta

L 2,2 = 7 x - 3

E ( x , y ) ≤ 0.02

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