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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.6 - Ex. 54

Variação na resistência elétrica A resistência R produzida por resistores de R 1 e R 2 ohms em paralelo (veja a figura a seguir) pode ser calculada a partir da fórmula

1 R = 1 R 1 + 1 R 2 .

a. Mostre que

d R = R R 1 2 d R 1 + R R 2 2 d R 2 .

b. Você projetou um circuito com dois resistores, como aquele que demonstrou ter resistências de R 1 = 100 ohms e R 2 = 400 o h m s , mas sempre existe alguma variação na fabricação e os resistores recebidos por sua empresa não terão provavelmente esses valores exatos. O valor de R será mais suscetivel à variação em R 1 ou à variação em R 2 ? Justifique sua resposta.c. Em um outro circuito, como aquele mostrado, você planeja alterar R 1 de 20 para 20,1 ohms e R 2 de 25 para 24,9 ohms. Em cerca de qual percentual essas alterações irão alterar R ?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício nos é dado a resistência equivalente de duas resistências ligadas em paralelo:

1 R = 1 R 1 + 1 R 2

(a) Mostraremos que d R = R R 1 2 d R 1 + R R 2 2 d R 2 .(b) Para R 1 = 100 o h m s , R 2 = 400 o h m s o valor da resistência equivalente será mais sensível à variação em relação à R 1 ou R 2 ?(c) Caso selecionarmos R 1 = 20 o h m s e R 2 = 25 o h m s e mudarmos para R 1 = 20,1 o h m s R 2 = 24,9 o h m s cerca de quantos porcento a resistência equivalente mudará?

Passo 2

(a)Começaremos derivando a função 1 R = 1 R 1 + 1 R 2 :

- 1 R 2 d R = - 1 R 2 d R 1 - 1 R 2 2 d R 2

Rearranjando a equação teremos:

d R = R R 1 2 d R 1 + R R 2 2 d R 2

Passo 3

(b)Para os valores dados, temos que:

d R = R 2 1 R 1 2 d R 1 + 1 R 2 2 d R 2 d R ( 100,400 ) = R 2 1 ( 100 ) 2 d R 1 + 1 ( 400 ) 2 d R 2

Como 1 ( 100 ) 2 > 1 ( 400 ) 2 , então o valor da resistência equivalente será mais sensível à variações em R 1 .

Passo 4

(c)Usando a equação encontrada em a:

d R = R R 1 2 d R 1 + R R 2 2 d R 2

As variações nas resistências são:

d R 1 = 0,1 d R 2 = - 0,1

Usando os valores R 1 = 20 o h m s e R 2 = 25 o h m s encontramos que a resistência equivalente vale:

1 R = 1 20 + 1 25 R = 100 9  ohms 

Substituindo na derivada da resistência equivalente:

d R ( 20,25 ) = 100 9 2 ( 20 ) 2 ( 0,1 ) + 100 9 2 ( 25 ) 2 ( - 0,1 ) ≈ 0,011 o h m s

Resposta: o erro então é da ordem de d R R ( 20,25 ) × 100 = 0,011 100 9 × 100 ≈ 0,1 % .

Resposta

Resposta nos passos.

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