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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.3 - Ex. 13

Nos Exercícios 11-14, encontre o parâmetro de comprimento de arco ao longo da curva a partir do ponto em que t = 0, avaliando a integral

s = ∫ 0 t v τ d τ

da Equação 3. Em seguida, encontre o comprimento da parte indicada da curva.

r t = e t cos ⁡ t i +   e t s e n   t j + e t k , - ln ⁡ 4 ≤ t ≤ 0 .

Passo 1

Fala minha galera querida!! Para encontrar o parâmetro precisamos primeiro derivar a função r em t, e depois encontrar o módulo desse vetor.

v t = d r d t

d d t e t cos ⁡ t i +   e t s e n   t j + e t k

= e t cos ⁡ t - e t s e n   t i +   e t s e n   t + e t cos ⁡ t j + e t k

Passo 2

Como encontrar o módulo do vetor? Só tirar a raiz da soma de todas as componentes ao quadrado.

v = e t cos ⁡ t - e t s e n   t 2 +   e t s e n   t + e t cos ⁡ t 2 + e t 2

v = e 2 t ( s e n 2 t - 2 s e n t cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t ) + e 2 t ( s e n 2   t + 2 s e n   t cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t ) + e 2 t

Da relação fundamental da trigonometria s e n 2   t + cos 2 ⁡ t = 1

v = e 2 t ( 1 + 1 + 1 )

v = e t 3

Passo 3

E agora vamos finalizar achando o comprimento usando a fórmula dada no enunciado.

s t = ∫ 0 t e τ 3 d τ

s t = e t 3 - 3

s 0 - s - ln ⁡ 4 = e 0 3 - 3 - e - ln ⁡ 4 3 - 3

s 0 - s - ln ⁡ 4 = 3 3 4

Bora pro próximo!

Resposta

s 0 - s - ln ⁡ 4 = 3 3 4 .

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