Comprimento da hélice O comprimento 2 π 2 da volta da hélice no Exemplo 1 também é o comprimento da diagonal de um quadrado com 2 π unidades de lado. Mostre como obter esse quadrado cortando e aplainando uma parte do cilindro ao redor do qual a hélice gira.

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos desenhar a figura do exemplo 1 para saber com o que estamos trabalhando.

Passo 2

Bora anotar as informações que temos do enunciado para começar o exercício.

  • Sabemos que a hélice da uma volta completa, isto é, t vai de 0 a 2 π ;
  • O raio do cilindro é 1, então o comprimento da base é 2 π ;
  • Quando a hélice completa a volta, o ponto P está em ( 1,0 , 2 π ) , pois o raio é dado pela função vetorial r = cos ⁡ t i + s e n   t   j + t   k ;
  • A altura do cilindro é 2 π .

Passo 3

Agora sim vamos começar o exercício, se cortarmos o cilindro da seguinte maneira,

E achatar as duas partes, nós obtemos um retângulo de largura igual ao comprimento da circunferência do cilindro, 2 π e altura 2 π , a altura do cilindro.

Como a largura é igual a altura, o retângulo é um quadrado de lado 2 π .

Bora pro próximo!

Resposta

Demonstração.

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