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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 47

Nos Exercícios 41-50, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Em seguida, identifique os valores de x para os quais a série converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente.

47. ∑ n = 0 ∞ n + 1 x 2 n - 1 3 n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos considerar que a série seja ∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ n + 1 x 2 n - 1 3 n . Aplicando o Teste da Razão à série ∑ n = 0 ∞ | u n | , onde u n é n-ésimo termo da série. Com isso,

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ n + 2 x 2 n + 1 3 n + 1 3 n n + 1 x 2 n - 1 = lim n → ∞ ⁡ x 2 ( n + 2 ) 3 ( n + 1 )

Desenvolvendo um pouco mais, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x 2 3 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2

Separando os termos do limite

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x 2 3 lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n 1 + 1 n

Com isso, portanto,

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x 2 3

Passo 2

A – O raio de convergência é 3 e o intervalo de convergência é - 3 < x < 3 .

B - O intervalo de x em que a série converge absolutamente é - 3 < x < 3 .

C – Não existe valor de x em que a série converge condicionalmente.

Resposta

Respondido acima!

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