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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 71

Utilize séries para aproximar os valores das integrais nos Exercícios 69-72 com um erro de magnitude menor que 10 - 8 . (A seção de respostas fornece os valores das integrais arredondados para 10 casas decimais.)

71. ∫ 0 1 / 2 tan - 1 ⁡ x x d x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos a seguinte integral

  ∫ 0 1 2 tan - 1 ⁡ x x d x =   ∫ 0 1 2 1 x x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + x 9 9 - x 11 11 + … d x

Desenvolvendo os termos, nós temos que

∫ 0 1 2 tan - 1 ⁡ x x d x = ∫ 0 1 2 1 - x 2 3 + x 4 5 - x 6 7 + x 8 9 - x 10 11 + … d x

Que tem como resultado

∫ 0 1 2 tan - 1 ⁡ x x d x = x - x 3 9 + x 5 25 - x 7 49 + x 9 81 - x 11 121 + . . , 0 1 2 = 1 2 - 1 3 2 ∙ 2 3 + 1 5 2 ∙ 2 5 - 1 7 2 ∙ 2 7 + 1 9 2 ∙ 2 9 - 1 11 2 ∙ 2 11 + … 1

Claramente, a série do lado direito é uma série alternada.

Passo 2

Do Teorema de Estimação de Séries Alternadas sabemos que para a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 u n se nós aproximamos por S n - 1 então, podemos considerar um erro

L - S n < u n  

Onde

S n = u 1 - u 2 + … + - 1 n u n - 1

Se u n < 10 - 8 , então, S n - 1 nos dá a aproximação necessária da série ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 u n .

1 2 n - 1 2 ∙ 2 2 n - 1

Agora temos que encontrar o menor valor de n tal que

1 2 n - 1 2 ∙ 2 2 n - 1 < 10 - 8 → n ≥ 10

O cálculo direto indica que temos que adicionar primeiro n - 1 = 9 termos para garantir que o erro de magnitude seja menor que 10 - 8 . Portanto, nós temos que

∫ 0 1 2 tan - 1 ⁡ x x d x ≈ 1 2 - 1 3 2 ∙ 2 3 + 1 5 2 ∙ 2 5 - 1 7 2 ∙ 2 7 + 1 9 2 ∙ 2 9 - 1 11 2 ∙ 2 11 + …

Com isso, nós temos que

∫ 0 1 2 tan - 1 ⁡ x x d x ≈ 0 , 4872223583

Com um erro de magnitude menor que 10 - 8 .

Resposta

∫ 0 1 2 tan - 1 ⁡ x x d x ≈ 0,4872223583

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