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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 23

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ 2 + ( - 1 ) n 1,25 n

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

∑ n = 1 ∞ 2 + ( - 1 ) n 1,25 n

Vamos assumir que

v n = 2 + ( - 1 ) n 1,25 n

Vamos fazer alguns ajustes:

v n = 2 + ( - 1 ) n 1,25 n = 2 1,25 n + ( - 1 ) n 1,25 n

2 1,25 n + ( - 1 ) n 1,25 n = 2 1 1,25 n + - 1 1,25 n

Logo:

∑ n = 1 ∞ 2 + ( - 1 ) n 1,25 n = ∑ n = 1 ∞ 2 1 1,25 n + ∑ n = 1 ∞ - 1 1,25 n

Repara que separamos a nossa série em duas. Agora vamos aplicar o teste da Razão para cada uma.

Passo 2

Vamos lá, começando pela primeira série:

2 ∑ n = 1 ∞ 1 1,25 n

Vamos assumir que

a n = 1 1,25 n

Logo:

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ 1 1,25 n n = lim n → ∞ ⁡ 1 1,25 = 1 1,25

Portanto, a série da esquerda converge.

Passo 3

Agora vamos para a segunda série:

∑ n = 1 ∞ - 1 1,25 n

Vamos assumir que

b n = - 1 1,25 n

Logo:

lim n → ∞ ⁡ b n n = lim n → ∞ ⁡ - 1 1,25 n n = lim n → ∞ ⁡ - 1 1,25 = - 1 1,25

Portanto, a série da direita também converge.

Como ambas tem o mesmo comportamento, podemos dizer que a soma delas vai ter o mesmo.

Resposta

C o n v e r g e .

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Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?b) ∑ n = 1 ∞ n 2 n
Determine se a série ∑ n = 1 ∞ 2 n n ! 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ … ⋅ ( 3 n + 2 ) é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)? ∑ n = 1 ∞ 1 n 3
Determine se a série 2 5 + 2 ⋅ 6 5 ⋅ 8 + 2 ⋅ 6 ⋅ 10 5 ⋅ 8 ⋅ 11 +2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 14 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 14 + … é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 1)^(oo) ((2 n + 1)^n)/(n^(2 n))