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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 18

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ n 2 e - n

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos esse exercício, vamos usar o Teste da Razão. Antes, vamos relembrar aqui rapidinho como é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Pelo valor de L , teremos:

s e   0 ≤ L < 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e

s e   L > 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   d i v e r g e

s e   L = 0   ,   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Show, vamos pro exercício agora:

∑ n = 1 ∞ n 2 e - n

Antes, podemos fazer um pequeno ajuste:

∑ n = 1 ∞ n 2 e - n = ∑ n = 1 ∞ n 2 e n

Vamos assumir que

a n = n 2 e n

Logo:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 e n + 1 n 2 e n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 e n + 1 × e n n 2 = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 e ( n 2 )

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 e ( n 2 ) = 1 e lim n → ∞ ⁡ n + 1 n 2

Aplicando o valor que n tende:

1 e lim n → ∞ ⁡ n + 1 n 2 = 1 e

Como 1 e < 1 , podemos concluir que a nossa série converge.

Resposta

C o n v e r g e .

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a série ∑ n = 0 ∞ x n / n ! converge para todo x .Deduza que o lim n → ∞ ⁡ x n / n ! = 0 para todo x .
Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?c) ∑ n = 1 ∞ - 3 n n
Determine se a série 1 - 1 ⋅ 3 3 ! + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 5 ! -1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 7 ! + … + - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n - 1 ! + … é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Determine se a série ∑ n = 1 ∞ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n n ! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?d) ∑ n = 1 ∞ n 1 + n 2