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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 46

Nos Exercícios 41-50, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Em seguida, identifique os valores de x para os quais a série converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente.

46. ∑ n = 1 ∞ x n n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

- Seja a série dada ∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ x n n . Aplicando o Teste da Razão à série ∑ n = 1 ∞ | u n | , onde u n é o n-ésimo termo da série, com isso,

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 n x n = lim n → ∞ ⁡ x n n + 1

Desenvolvendo um pouco mais, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x lim n → ∞ ⁡ n n + 1

Separando os termos do limite

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n

Com isso, portanto,

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x ( 1 ) = x

A série converge absolutamente para x < 1 , com isso, temos o seguinte intervalo - 1 < x < 1 . Sabemos que toda série absolutamente convergente é convergente. Assim, o raio de convergência é 1 . Agora temos que testar a convergência ou divergência em cada ponto final, ou seja, - 1 e 1 .

Passo 2

B – O intervalo de x faz com que converge absolutamente é igual a - 1 < x < 1 .

C – O valor de x para que a série convirja condicionalmente é x = - 1 .

Resposta

Respondido acima!

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