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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 49

Nos Exercícios 41-50, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Em seguida, identifique os valores de x para os quais a série converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente.

49. ∑ n = 0 ∞ csch ⁡ n x n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Vamos considerar a série como ∑ n = 0 ∞ u n =   ∑ n = 0 ∞ csch ⁡ n x n . Aplicando o teste da razão para a série ∑ n = 0 ∞ | u n | , nós temos que

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ csch ⁡ n + 1 x n + 1 csch ⁡ n x n

Desenvolvendo os termos

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ csch ⁡ n + 1 x csch ⁡ n = x lim n → ∞ ⁡ csch ⁡ n + 1 csch ⁡ n

Expandindo os termos para a cossecante hiperbólica

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x lim n → ∞ ⁡ 2 e n + 1 - e - n - 1 2 e n - e - n = x lim n → ∞ ⁡ e - 1 - e - 2 n - 1 1 - e - 2 n - 2

Portanto, temos o seguinte resultado

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x e - 1 = x e

Passo 2

B - A série converge absolutamente para todo x satisfaz,

x e < 1 → x < e → - e < x < e

Sabemos que toda série absolutamente convergente é convergente. Assim, o raio de convergência de uma determinada série é e . Agora temos que testar a convergência ou divergência em cada ponto final, ou seja, - e e e . Considerando x = - e , que nós temos que

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ csch ⁡ n - e n = ∑ n = 1 ∞ - e n csch ⁡ n

O que é uma série divergente desde que

lim n → ∞ ⁡ - e n csch ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n e n e n + e - n 2

Desenvolvendo o termo um pouco mais

lim n → ∞ ⁡ - e n csch ⁡ n =   lim n → ∞ ⁡ - 1 n 1 + e 2 n 2 ≠ 0

Passo 3

C – Considerando x = e , portanto, nós temos que

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ csch ⁡ n e n

Desenvolvendo os termos

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ csch ⁡ n e n

O que é uma série divergente desde que lim n → ∞ ⁡ e n ( csch ⁡ n ) ≠ 0 .

Resposta

Respondido acima!

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