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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 58

Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ ( n ! ) n ( n ) n 2

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos esse exercício, vamos usar o Teste da Raiz. Antes, vamos relembrar aqui rapidinho como é:

lim n → ∞ ⁡ a n n = L

Pelo valor de L , teremos:

s e   0 ≤ L < 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e

s e   L > 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   d i v e r g e

s e   L = 0   ,   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Show, vamos pro exercício agora:

∑ n = 1 ∞ ( n ! ) n ( n ) n 2

Vamos assumir que

a n = ( n ! ) n ( n ) n 2

Logo:

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ ( n ! ) n ( n ) n 2 n = lim n → ∞ ⁡ n ! n n = 0

Portanto, podemos concluir que a nossa série converge.

Resposta

C o n v e r g e .

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