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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 41

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ n ! ln ⁡ n n n + 2 !

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos esse exercício, vamos usar o Teste da Razão. Antes, vamos relembrar aqui rapidinho como é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Pelo valor de L , teremos:

s e   0 ≤ L < 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e

s e   L > 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   d i v e r g e

s e   L = 0   ,   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Show, vamos pro exercício agora:

∑ n = 1 ∞ n ! ln ⁡ n n n + 2 !

Vamos assumir que

a n = n ! ln ⁡ n n n + 2 !

Logo:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! ln ⁡ ( n + 1 ) ( n + 1 ) n + 3 ! n ! ln ⁡ n n n + 2 ! = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! ln ⁡ ( n + 1 ) ( n + 1 ) n + 3 ! × n n + 2 ! n ! ln ⁡ n

Lembrando que

n + 3 ! = n + 3 n + 2 !

n + 1 ! = n + 1 n !

Substituindo:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n ! ln ⁡ ( n + 1 ) ( n + 1 ) n + 3 n + 2 ! × n n + 2 ! n ! ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) n + 3 ln ⁡ n

Aqui, vamos separar esse limite em dois:

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) n + 3 ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ n n + 3 × lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ ( n + 1 ) ln ⁡ n

Se aplicarmos L-Hospital nos limites, vamos achar:

lim n → ∞ ⁡ n n + 3 × lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ ( n + 1 ) ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ 1 1 × lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 1 n

lim n → ∞ ⁡ 1 1 × lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 1 n = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = 1

Vish galera, o resultado deu inconclusivo. E agora?

Resposta

C o n v e r g e .

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