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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 68

Nos Exercícios 65-68, encontre os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor gerada por f em x = a .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a função é igual a f x = 1 x , a série de Taylor para a função quando x > 0 é dada por

f x = f a + f ' a x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + f ' ' ' a 3 ! x - a 3 + …

Diferenciando f ( x ) três vezes de forma sucessiva, obtemos que

f x = 1 x = x - 1

f ' x = - x - 2

f ' ' x = 2 x - 3

f ' ' ' x = - 6 x - 4

Passo 2

Agora colocando x = a , nós temos que

f a = 1 a

f ' a = - a - 2

f ' ' a = 2 a - 3

f ' ' ' a = - 6 a - 4

Portanto, do exposto acima, os primeiros quatro termos diferentes de zero da série de Taylor gerados por f em x = a > 0 é igual a

f x = 1 x = f a + f ' a x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + f ' ' ' a 3 ! x - a 3 + …

Desenvolvendo os termos já conhecidos, chegamos ao seguinte resultado

f x = 1 a + - 1 a 2 x - a + 2 a 3 2 ! x - a 2 + - 6 a 4 3 ! x - a 3 + …

Com isso, nós temos que

f x = 1 a - 1 a 2 x - a + 1 a 3 x - a 2 - 1 a 4 x - a 3 + …

Resposta

f x = 1 x = 1 a - 1 a 2 x - a + 1 a 3 x - a 2 - 1 a 4 x - a 3 + …

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