Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.4 - Ex. 2
Nos exercícios 1 a 4, para a equação dada,
- Encontre uma equação do gráfico em relação aos eixos , obtidos por uma rotação de um ângulo cuja medida é e
- Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos.
2)
Passo 1
Primeiramente, precisamos nos lembrar do Teorema 10.4.1 para resolver essa questão de rotação:
Teorema 10.4.1
Se (x,y) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo , então
- e
- e
Com no Teorema 10.4.1 (i), obtemos:
e
e
Substituindo essas expressões para x e y na equação , obtemos:
Aplicando a distributiva:
Dividindo ambos os membros por -4:
Passo 2
A equação obtida no Passo 1 é a equação de uma hipérbole equilátera cujas assíntotas são as bissetrizes dos quadrantes no sistema . Assim o gráfico da equação é uma hipérbole equilátera situada no segundo e quarto quadrantes e as assíntotas são os eixos x e y.
Resposta
a)
b)
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Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos. 8 . x 2 + x y + y 2 = 3
Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos. 7 . x 2 + 2 x y + y 2 - 8 x + 8 y = 0
Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos. 9 . x y + 16 = 0
Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos. 10 . 5 x 2 + 6 x y + 5 y 2 = 9
Nos exercícios de 13 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos. 15 . 17 x 2 - 12 x y + 8 y 2 - 68 x + 24