Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 13

Ache o volume do sólido de revolução geradp éça rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva , pelo eixo e pela reta .

A reta

Passo 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

Aqui, queremos o volume em torno da reta .

A região é entre curva verde e a curva azul.

Como estamos trabalhando com rotação no eixo , devemos olahr o intervalo de variação nele.

Para isso, devemos fazer e na equação da curva:

Com até .

Para acharmos a função em , já que estamos rodando paralelo ao eixo , vamos isolar o

O raio é a distância do eixo de rotação até a função

Da azul para a verde, vamos ter:

O volume vai ser:

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

Resposta

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quef) 0 ≤ x ≤ 1ex ≤ y ≤ 3 .

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quej) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4ey ≥ 0 .

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quec) 1 ≤ x ≤ 4e0 ≤ y ≤ x

Considere um triângulo Isósceles situado no semiplano y ≥ 0 e com a base paralela ao eixo x. Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação deste triângulo, em torno do eixo x, é igual ao produto d

(Teorema de Papus para a elipse). Considere o conjunto A de todos os pontos (x, y) tais que x -α 2 a 2 + y - β 2 b 2 ≤ 1 ( a0eb0 ) E situado no semiplano y≥0 . Mostre que o volume do sólido obtido pel