Enunciado

Nos exercícios 1 a 4, para a equação dada,

  1. Encontre uma equação do gráfico em relação aos eixos x -   e   y - , obtidos por uma rotação de um ângulo cuja medida é π 4 e
  2. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos.

1)   x y = 8

Passo 1

Primeiramente, precisamos nos lembrar do Teorema 10.4.1 para resolver essa questão de rotação:

Teorema 10.4.1

Se (x,y) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e x - , y - for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então

  1. x = x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α e y = x - . sen ⁡ α - y - . c o s   α
  2. x - = x . cos ⁡ α - y . s e n   α e y - = - x . sen ⁡ α - y . c o s   α

Com α = π 4 no Teorema 10.4.1 (i), obtemos:

x = x - . cos ( π 4 )   ⁡ - y - . s e n   ( π 4 ) e y = x - . sen ⁡ π 4 + y - . c o s   ( π 4 )

x = x - . 2 2 ⁡ - y - . 2 2 e y = x - . 2 2 ⁡ + y - . 2 2

Substituindo essas expressões para x e y na equação x y = 8 , obtemos:

x - . 2 2 ⁡ - y - . 2 2 . x - . 2 2 ⁡ + y - . 2 2 = 8

Aplicando a distributiva:

x - 2 2 - y - 2 2 = 8

Dividindo ambos os membros por 8:

x - 2 16 - y - 2 16 = 1

Passo 2

A equação obtida no Passo 1 é a equação de uma hipérbole equilátera cujas assíntotas são as bissetrizes dos quadrantes no sistema x - y - . Assim o gráfico da equação x y = 8 é uma hipérbole equilátera situada no primeiro e terceiro quadrantes e as assíntotas são os eixos x e y.

Resposta

a)

x - 2 16 - y - 2 16 = 1

b)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos. 11 . 31 x 2 + 10 3 x y + 21 y 2 = 144
Nos exercícios de 13 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos. 13 . x 2 + x y + y 2 - 3 y - 6 = 0
Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos. 12 . 6 x 2 + 20 3 x y + 26 y 2 = 324
Nos exercícios de 13 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos. 14 . 19 x 2 + 6 x y + 11 y 2 - 26 x + 38
Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.22. x 2 + 2 x y + y 2 - x - 3 y = 0