Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.4 - Ex. 1
Nos exercícios 1 a 4, para a equação dada,
- Encontre uma equação do gráfico em relação aos eixos , obtidos por uma rotação de um ângulo cuja medida é e
- Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos.
1)
Passo 1
Primeiramente, precisamos nos lembrar do Teorema 10.4.1 para resolver essa questão de rotação:
Teorema 10.4.1
Se (x,y) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo , então
- e
- e
Com no Teorema 10.4.1 (i), obtemos:
e
e
Substituindo essas expressões para x e y na equação , obtemos:
Aplicando a distributiva:
Dividindo ambos os membros por 8:
Passo 2
A equação obtida no Passo 1 é a equação de uma hipérbole equilátera cujas assíntotas são as bissetrizes dos quadrantes no sistema . Assim o gráfico da equação é uma hipérbole equilátera situada no primeiro e terceiro quadrantes e as assíntotas são os eixos x e y.
Resposta
a)
b)
Exercícios de Livros Relacionados
Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos. 11 . 31 x 2 + 10 3 x y + 21 y 2 = 144
Nos exercícios de 13 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos. 13 . x 2 + x y + y 2 - 3 y - 6 = 0
Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos. 12 . 6 x 2 + 20 3 x y + 26 y 2 = 324
Nos exercícios de 13 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos. 14 . 19 x 2 + 6 x y + 11 y 2 - 26 x + 38
Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.22. x 2 + 2 x y + y 2 - x - 3 y = 0