Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 6
Nos exercícios a , esboce o gráfico da superfície de equação dada.
.
Passo 1
E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D
Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de planos. Na seção do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., um plano tem a equação:
Onde é o vetor normal ao plano que passa pelo ponto .
Se temos uma equação linear, vamos determinar o traço do gráfico em cada plano coordenado. Em outras palavras, igualando uma variável a zero de cada vez, iremos determinar a equação de uma reta do gráfico que intercepta o plano coordenado.
Assim, se fizermos , teremos a equação de uma reta no plano . Da mesma forma, fazendo e teremos equações de retas nos planos e , respectivamente. Para ajudar nisso, vamos esboçar essas retas.
Passo 2
Então, fazendo primeiro:
Temos a equação da reta no plano :
Que pode ser reescrita como:
Agora, para sabermos os pontos em que essa reta cruza, vamos igualar cada variável a zero uma de cada vez.
Dessa forma, para :
Ou seja:
Em seguida, fazendo :
Logo, a reta no plano passa pelos pontos e .
O esboço para esse caso é:
Passo 3
Analogamente, se fizermos:
Conseguimos:
Então, para :
Como encontrado anteriormente.
Já para :
O que resulta em:
Portanto:
Logo, a reta no plano passa pelos pontos e .
Esboçando, temos:
Passo 4
Por último, fazendo:
Conseguimos:
Então, para :
E para :
Logo, a reta no plano passa pelos pontos e .
Esboçando, temos:
Passo 5
Com essas informações, se juntarmos todas as retas em um só esboço tridimensional, conseguimos:
Portanto, o nosso plano é dado pelo esboço:
Resposta
