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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.7 - Ex. 11

Os Exercícios 9-12 fornecem os focos ou vértices e as excentricidades das elipses centradas na origem do plano xy. Em cada um dos casos, encontre a equação de forma padrão da elipse nas coordenadas cartesianas.

Vértices: ( 0 , ± 70 )

Excentricidade: 0 , 1

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será reescrever a equação da elipse dada na sua forma reduzida, que tem o seguinte formato:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

A partir disso, teremos a excentricidade e os focos. Para, determinarmos a as coordenadas dos eixos a e b   e construirmos a equação da elipse.

Simbora?

Passo 2

Como nos foi dado os vértices ( 0 , ± 70 ) sabemos que os vértices da elipse são dados por ( 0 , ± a ) , portanto, temos que:

a   = 70

Sendo a excentricidade da elipse dada por e = c a   , com os valore de e = 0 , 1 e a   = 70 obtemos:

0 , 1 = c 70 ⟹ c = 0,1 ∙ 70 = 7

Por fim, através do Teorema de Pitágoras, temos que:

a 2 = b 2 + c 2 ⇒ b 2 = 7 0 2 - 7 2 = 490 0 - 49 = 4851

Vale lembrar que os focos ficam no eixo maior, que nesse caso é o eixo y. Logo, a equação da elipse terá o seguinte formato:

x 2 4851 + y 2 4900 = 1

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

x 2 4851 + y 2 4900 = 1 .

Exercícios de Livros Relacionados

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Os Exercícios 25-28 fornecem as excentricidades e os focos ou focos das hipérboles centradas na origem do plano xy. Em cada um dos casos, encontre a equação de forma padrão da hipérbole nas coordenada
Os Exercícios 13-16 fornecem os focos e as diretrizes correspondentes das elipses centradas na origem do plano xy. Em cada um dos casos, utilize as dimensões na Figura 11.45 para encontrar a excentric