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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.7 - Ex. 48

Esboce as retas nos Exercícios 45-48 e encontre equações cartesianas para elas.

r cos ⁡ θ + π 3 = 2

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será usar as transformações de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, para encontrar a equação cartesiana da equação polar dada. Para isso podemos fazer uso das seguintes relações:

x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Por fim, com auxílio de software, podemos traçar o esboço da reta cartesiana encontrada.

Simbora?

Passo 2

Veja que a equação dada, apresenta uma soma entre dois arcos, portanto usaremos a seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ x + y = cos ⁡ x ∙ cos ⁡ y - sen ⁡ x ∙ sen ⁡ y

Logo,

r cos ⁡ θ + π 3 = 2   ⟹ r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ π 3 - sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ π 3 = 2  

Aplicando a distributiva, temos:

r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ π 3 - r sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ π 3 = 2

Usando as relações citadas no passo 1 e determinando os valores conhecidos, temos:

x ∙ 1 2 - y ∙ 3 2 = 2

Multiplicando ambos os lados por 2 , têm-se:

x - 3 y = 4

Encontramos nossa equação da reta, em coordenadas cartesianas.

Passo 3

Agora, traçando a cônica com auxílio de um software e destacando as informações pedidas, obtemos:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

x - 3 y = 4 .

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