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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.7 - Ex. 27

Os Exercícios 25-28 fornecem as excentricidades e os focos ou focos das hipérboles centradas na origem do plano xy. Em cada um dos casos, encontre a equação de forma padrão da hipérbole nas coordenadas cartesianas.

Excentricidade: 3

Focos: ( ± 3,0 )

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será reescrever a equação da hipérbole dada na sua forma reduzida, que tem o seguinte formato:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

A partir disso, teremos a excentricidade e os focos. Para, determinarmos a as coordenadas dos eixos a e b   e construirmos a equação da hipérbole.

Simbora?

Passo 2

Como nos foi dado os focos ( ± 3 , 0 ) , sabemos que os focos da hipérbole são dados por F ( ± c , 0 ) , portanto, temos que:

c = 3

Sendo a excentricidade da hipérbole dada por e = c a   , com os valores de e = 3 e c = 3 obtemos:

3 = 3 a ⟹ a = 1

Por fim, através do Teorema de Pitágoras, temos que:

c 2 = a 2 + b 2 ⇒ b 2 = 3 2 - 1 2 = 9 - 1 = 8

Sabemos que os focos são pontos no eixo x, logo, a equação da hipérbole terá o seguinte formato:

x 2 1 - y 2 8 = 1

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

x 2 1 - y 2 8 = 1 .

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