Nos Exercícios 15-18, r(t) é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula. Encontre o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração no instante t = 0 .

15. r(t) = (3t + 1) i + (raiz(3)t) j + (t^2) k

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo tranquilo?

Para começar, vamos calcular os vetores velocidade e aceleração. Só precisamos a derivada em relação ao tempo do vetor posição uma vez para a velocidade e duas para a aceleração:

v → = d d t r → ( t ) = d d t ( 3 t + 1 ) i → + d d t ( 3 t ) j → + d d t ( t 2 )   k →

v → = 3   i →   + 3   j → + 2 t   k →

Agora, podemos calcular a aceleração tomando a derivada temporal novamente

a → = d d t v → = d d t ( 3 )   i → + d d t ( 3 ) j → + d d t ( 2 t   )   k →

a → = 0   i → + 0 j → + 2 k →

Passo 2

Para encontrar o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração no instante t = 0 , precisamos da fórmula:

c o s θ = v   → ⋅   a → | v → | | a → |

Então, vamos calcular o produto interno e os módulos dos vetores:

v   → ⋅   a → = 3   i →   + 3   j → + 2 t �� k →   ⋅ 2 k → = 4 t  

| v → | = 9 + 3 + 4 t 2 = 12 + 4 t 2

| a → | = 4 = 2

Passo 3

Agora, voltamos ao cálculo do ângulo:

c o s θ = v   → ⋅   a → | v → | | a → | = 4 t 2 12   +   4 t 2

Para t = 0 , temos:

c o s θ = 4 t 2 12 + 4 t 2 | t   =   0 = 0 ⇒ θ = π 2

Os vetores são perpendiculares. Até a próxima, galerinha!

Resposta

θ = π 2

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