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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.1 - Ex. 18

Nos Exercícios 15-18, r ( t ) é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula. Encontre o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração no instante t = 0 .

18. r → ( t ) = 4 9 ( 1 + t ) 3 / 2 i → + 4 9 ( 1 - t ) 3 / 2   j → + 1 3 t k →

Passo 1

E aí, pessoal! Vamos lá para mais uma questão? Vem comigo!

Para calcular o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração começamos calculando esses vetores:

v → = d d t r → ( t ) = 4 9 ⋅ d d t ( 1 + t ) 3 / 2 i → + 4 9 ⋅ d d t ( 1 - t ) 3 / 2 j → + 1 3 ⋅ d d t ( t ) k →

v → = 2 3 ( 1 + t ) 1 / 2   i →   - 2 3 ( 1 - t ) 1 / 2   j → + 1 3 k →

e

a → = d d t v → = 2 3 ⋅ d d t ( 1 + t ) 1 / 2   i → - 2 3 ⋅ d d t ( 1 - t ) 1 / 2 j → + d d t ( 1 3 ) k →

a → = 1 3 ( 1   +   t ) 1 / 2 i → + 1 3 ( 1   -   t ) 1 / 2 j → + 0 k →

Passo 2

Para encontrar o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração no instante t = 0 , vamos usar a fórmula:

c o s θ = v   → ⋅   a → | v → | | a → |

Calculando o produto interno e os módulos dos vetores:

v   → ⋅   a → = 2 3 ( 1 + t ) 1 / 2   i →   - 2 3 ( 1 - t ) 1 / 2   j → + 1 3 k →   ⋅ 1 3 ( 1   +   t ) 1 / 2 i → + 1 3 ( 1   -   t ) 1 / 2 j →  

v   → ⋅   a → = 2 9 - 2 9 = 0  

Como v   → ⋅   a → = 2 9 - 2 9 = 0   para qualquer valor de t , já sabemos que os dois vetores são sempre ortogonais. Assim, θ = π 2 . Nos vemos na próxima!

Resposta

θ = π 2

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