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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.1 - Ex. 17

Nos Exercícios 15-18, r ( t ) é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula. Encontre o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração no instante t = 0 .

17. r → ( t ) = ( l n ( t 2 + 1 ) ) i → +   ( t g - 1 t )   j → + t 2 + 1 k →

Passo 1

Fala, galera! Vamos lá para mais uma questão?

Para calcular o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração precisamos começar calculando esses vetores:

v → = d d t r → ( t ) = d d t ( l n ( t 2 + 1 ) ) i → + d d t ( t g - 1 t ) j → + d d t ( t 2 + 1 ) k →

v → = 2 t t 2 + 1   i →   + ( 1 t 2 + 1 )   j → + ( 2 t t 2 + 1 ) k →

e

a → = d d t v → = d d t ( 2 t t 2 + 1 )   i → + d d t ( 1 t 2 + 1 ) j → + d d t ( 2 t t 2 + 1 ) k →

a → = ( 2 ( t 2 + 1 )   -   2 t   ⋅   2 t ( t 2   +   1 ) 2 )   i → + ( 2 t ( t 2   +   1 ) 2 ) j → + ( 2 t 2 +   1   -   2 t   ⋅   2 t / t 2 +   1 t 2   +   1 ) k →

a → = 2 ( 1   -   t 2 ) ( t 2   +   1 ) 2   i → + 2 t ( t 2   +   1 ) 2 j → + 2 ( t 2   +   1 )   -   4 t 2 ( t 2   +   1 ) 3 / 2 k →

a → = 2 ( 1   -   t 2 ) ( t 2   +   1 ) 2 i → + 2 t ( t 2   +   1 ) 2 j → + 2 ( 1   -   t 2 ) ( t 2   +   1 ) 3 / 2 k →

Passo 2

Agora temos que encontrar o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração no instante t = 0 . Para isso, precisamos da fórmula:

c o s θ = v   → ⋅   a → | v → | | a → |

Vamos calcular o produto interno e os módulos dos vetores:

v   → ⋅   a → = 2 t t 2   +   1 i → + 1 t 2   +   1 j → + 2 t t 2   +   1 k →   ⋅ 2 ( 1   -   t 2 ) ( t 2   +   1 ) 2 i → + 2 t ( t 2   +   1 ) 2 j → + 2 ( 1   -   t 2 ) ( t 2   +   1 ) 3 / 2 k →  

v   → ⋅   a → = 4 t ( 1   -   t 2 ) ( t 2   +   1 ) 3 + 2 t ( t 2   +   1 ) 3 + 4 t ( 1   -   t 2 ) ( t 2   +   1 ) 2  

| v → | = 2 t t 2   +   1 2 + 1 t 2   +   1 2 + 2 t t 2   +   1

| a → | = 2 ( 1   -   t 2 ) ( t 2   +   1 ) 2 2 + 2 t ( t 2   +   1 ) 2 2 + 2 ( 1   -   t 2 ) ( t 2   +   1 ) 3 / 2 2

Passo 3

Para t = 0 , temos:

v   → ⋅   a → | t = 0 = 4 t ( 1   -   t 2 ) ( t 2   +   1 ) 3 + 2 t ( t 2   +   1 ) 3 + 4 t ( 1   -   t 2 ) ( t 2   +   1 ) 2 t = 0 = 0  

| v → | t = 0 = 2 t t 2   +   1 2 + 1 t 2   +   1 2 + 2 t t 2   +   1 t = 0 = 1 = 1

| a → | t = 0 = 2 ( 1   -   t 2 ) ( t 2   +   1 ) 2 2 + 2 t ( t 2   +   1 ) 2 2 + 2 ( 1   -   t 2 ) ( t 2   +   1 ) 3 / 2 2 t = 0 = 8   =   2 2

Agora, voltamos ao cálculo do ângulo:

c o s θ = v   → ⋅   a → | v → | | a → | = 0 1   ⋅   2 2 = 0 ⇒ θ = π 2

Como o ângulo é θ = π 2 , os vetores são perpendiculares.

Curtiu essa questão? Então, nos vemos na próxima, galerinha!

Resposta

θ = π 2

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