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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.1 - Ex. 16

Nos Exercícios 15-18, r ( t ) é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula. Encontre o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração no instante t = 0 .

16. r → ( t ) = ( 2 2 t ) i → +   ( 2 2 t - 16 t 2 )   j →

Passo 1

E aí, Pessoal! Tudo tranquilo?

Para calcular o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração precisamos começar calculando esses vetores:

v → = d d t r → ( t ) = d d t ( 2 2 t ) i → + d d t ( 2 2 t - 16 t 2 ) j →

v → = 2 2   i →   + ( 2 2 - 32 t )   j →

Agora, podemos calcular a aceleração tomando derivando em relação ao tempo novamente

a → = d d t v → = d d t ( 2 2 )   i → + d d t ( 2 2 - 32 t ) j →

a → = 0   i → - 32 j →

Passo 2

Para encontrar o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração no instante t = 0 , precisamos da fórmula:

c o s θ = v   → ⋅   a → | v → | | a → |

Então, vamos calcular o produto interno e os módulos dos vetores:

v   → ⋅   a → = 2 2   i →   + ( 2 2 - 32 t )   j →   ⋅ - 32 j → = 16 2 - 1024   t  

| v → | = 1 2 + ( 2 2 - 32 t ) 2

| a → | = 3 2 2 = 32

Passo 3

Agora, voltamos ao cálculo do ângulo:

c o s θ = v   → ⋅   a → | v → | | a → | = 16 2   -   1024   t 32 1 2   +   ( 2 2   -   32 t ) 2

Para t = 0 , temos:

c o s θ = 16 2   -   1024   t 32 1   2   +   ( 2 2   -   32 t ) 2 | t   =   0 = 16 2 32 1 2   +   1 2 = 2 2

Então, o ângulo entre os vetores é

θ = π 4

Até a próxima, galerinha!

Resposta

θ = π 4

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