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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.1 - Ex. 13

Nos Exercícios 9-14, r ( t ) é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula. Em seguida, encontre o módulo da velocidade e a direção do movimento da partícula no valor determinado de t . Escreva a velocidade da partícula naquele instante como o produto de sua velocidade e versor.

13. r → ( t ) = ( 2 l n ( t + 1 ) ) i → +   t 2   j → + t 2 2   k → ,   t = 1

Passo 1

E aí, galerinha! Como vão as coisas?

Vamos começar a questão com os vetores velocidade e aceleração. Só precisamos a derivada temporal do vetor posição uma vez para a velocidade e duas para a aceleração:

v → = d d t r → ( t ) = 2 ⋅ d d t ( l n ( t + 1 ) ) i → + d d t ( t 2 ) j → + 1 2 ⋅ d d t ( t 2 )   k →

v → = 2 t   +   1 i →   + 2 t   j → + t   k →

Agora, podemos calcular a aceleração tomando a derivada temporal novamente

a → = d d t v → = d d t ( 2 t   +   1 )   i → + d d t ( 2 t ) j → + d d t ( t )   k →

a → =   - 2 ( t   +   1 ) 2   i → + 2 j → + 1   k →

Passo 2

Precisamos encontrar o módulo da velocidade e a direção do movimento da partícula no valor t = 1 . Para isso, calculamos o módulo da velocidade e a direção do movimento da partícula e depois aplicamos t = 1 :

| v → | = 2 t   +   1 2 + 4 t 2 + t 2 = 4 ( t   +   1 ) 2 + 5 t 2

| v → | = 4   +   5 t 2 ( t   +   1 ) 2 ( t   +   1 ) 2

v → | v → | = ( t   +   1 ) 2 4 + 5 t 2 ( t   +   1 ) 2 2 t   +   1 i →   + 2 t   j → + t   k →

Para t = 1 , temos:

| v → | t = 1 = 4   +   5 t 2 ( t   +   1 ) 2 ( t   +   1 ) 2 t = 1 = 4   +   5   ⋅   ( 2 ) 2 ( 1   +   1 ) 2 = 24 4 = 6

e

v → | v → | | t = 1 = ( t   +   1 ) 2 4 + 5 t 2 ( t   +   1 ) 2 2 t   +   1 i →   + 2 t   j → + t   k → t = 1

⇒ v → | v → | | t = 1 = 1 6 ( 2 2 )   i → + ( 2 ) j → + 1   k → = 1 6   i → + 2 6 j → + 1 6   k →

Passo 3

Por último, mas não menos importante, temos que escrever a velocidade da partícula como o produto de sua velocidade e versor, v → | v → | :

v e l o c i d a d e   ( t = 1 ) = | v → | v → | v → | = 6 1 6   i → + 2 6 j → + 1 6   k →

Até a próxima, galerinha!

Resposta

v → = 2 t   +   1 i →   + 2 t   j → + t   k →

a → = - 2 ( t   +   1 ) 2   i → + 2 j → + 1   k →

| v → | t = 1 = 6

v → | v → | | t = 1 = 1 6   i → + 2 6 j → + 1 6   k →

v e l o c i d a d e   ( t = 1 ) = 6 1 6   i → + 2 6 j → + 1 6   k →

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