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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.10 - Ex. 3

Nos exercícios de 1 a 4, use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação dada com quatro casas decimais.

x 5 - x + 1 = 0

Passo 1

Para iniciar a resolução da questão, o primeiro passo é lembrar que o método busca estimar as raízes de uma equação polinomial, podendo ser tão preciso quanto desejarmos, dependendo apenas da quantidade de repetições do processo sobre uma equação. A análise é feita a partir da seguinte relação:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Com n um número natural, a raiz x n tem precisão de k casas decimais se x n + 1 = x n até a k - é s i m a casa decimal. A função f ( x ) , por sua vez, é identicamente nula, tratada como a função polinomial que representa o lado esquerdo da equação original.

Passo 2

Devemos calcular a função f ' ( x ) , que aparece na relação proposta por Newton. Derivando normalmente:

f ' x = 5 x 4 - 1

Passo 3

Para escolher o valor de x 1 , perceba que f - 1 = 1 > 0 e f - 2 = - 29 < 0 . Portanto, o valor x 1 = - 1,2 é razoável para iniciar o método. Logo, calculemos os valores seguintes até atingir a precisão desejada:

- x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

x 2 = - 1,2 - - 0,2883 9,368

x 2 = - 1,1692

- x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2  

x 3 = - 1,1692 - - 0,0158 8,3438  

x 3 =   - 1,1673

- x 4 = x 3 - f x 3 f ' x 3  

x 4 = - 1,1673 - 0,00003 8,2832  

x 4 = - 0,1 673

Resposta

Ou seja, a raiz real da equação x 5 - x + 1 = 0   , com aproximação de quatro casas decimais, é:

x = - 1,1673

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Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 3 - 4 x - 8 = 0 ; a raiz positiva
Nos exercícios de 1 a 4, use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação dada com quatro casas decimais. 6 x 3 + 9 x + 1 = 0
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 - 10 x + 5 = 0 ; a maior raiz positiva
Nos exercícios de 1 a 4, use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação dada com quatro casas decimais. x 5 + x - 1 = 0
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