Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.10 - Ex. 5

Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo.

; a raiz positiva

Passo 1

Para iniciar a resolução da questão, o primeiro passo é lembrar que o método busca estimar as raízes de uma equação polinomial, podendo ser tão preciso quanto desejarmos, dependendo apenas da quantidade de repetições do processo sobre uma equação. A análise é feita a partir da seguinte relação:

Com um número natural, a raiz tem precisão de casas decimais se até a casa decimal. A função , por sua vez, é identicamente nula, tratada como a função polinomial que representa o lado esquerdo da equação original.

Passo 2

Devemos calcular a função , que aparece na relação proposta por Newton. Derivando normalmente:

Passo 3

Para escolher o valor de , perceba que e . Portanto, o valor é razoável para iniciar o método. Logo, calculemos os valores seguintes até atingir a precisão desejada:

Resposta

Ou seja, a raiz real da equação, com aproximação de quatro casas decimais, é:

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Use o método de Newton para estimar as soluções da equação x 2 + x - 1 = 0 . Comece comx 0=-1 para a solução à esquerda e com x 0=1 para a solução à direita. Depois, determine x 2 em cada caso.

Aplique o método de Newton a f x = x 1 3 com x 0=1 e calcule x 1,x 2 ,x 3ex 4 . Determine uma fórmula para x n . O que acontece com x n quando n → ∞ ? Desenhe uma figura que mostre o que ocorre.

Para que valor(es) de x teremos ln ⁡ 1 - x 2 = x - 1 ?

As curvas y=x 2 ( x+1 ) e y= 1 x( x0 ) se cruzam em um ponto x=r . Use o método de Newton para estimar o valor de r com quatro casas decimais.

A figura a seguir mostra um círculo de raio r com uma corda de comprimento 2 e um arco s de comprimento 3 . Use o método de Newton para resolverr e θ (radianos) com quatro casas decimais. Suponha que