Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.10 - Ex. 13

Nos exercícios de11 até 14, use o método de Newton para encontrar o radical dado com cinco casas decimais corretas.

, resolvendo a equação

Passo 1

Para iniciar a resolução da questão, o primeiro passo é lembrar que o método busca estimar as raízes de uma equação polinomial, podendo ser tão preciso quanto desejarmos, dependendo apenas da quantidade de repetições do processo sobre uma equação. A análise é feita a partir da seguinte relação:

Com um número natural, a raiz tem precisão de casas decimais se até a casa decimal. A função , por sua vez, é identicamente nula, tratada como a função polinomial que representa o lado esquerdo da equação original.

Passo 2

Devemos calcular a função , que aparece na relação proposta por Newton. Derivando normalmente:

Passo 3

Para escolher o valor de , perceba que e . Temos uma raiz no intervalo . Portanto, vamos usar o valor para iniciar o método. Logo, calculemos os valores seguintes até atingir a precisão desejada:

Resposta

Ou seja, o valor de, com aproximação de cinco casas decimais, é:

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Nos exercícios de 15 a 18, use o método de Newton para encontrar, com quatro casa decimais, a coordenada x do ponto de interseção no primeiro quadrante dos gráficos das duas equações.

Siga as instruções do Exercício 19, se a = - 2 .

Seja f x = x 4 - x 3 . Mostre que a equação f x = 75 tem uma solução no intervalo [3,4] e use o métdo de Newton para determiná-la.

Seja f x = 3 x - x 3 . Mostre que a equação f x = - 4 tem uma solução no intervalo [2,3] e use o método de Newton para determiná-la.

Deduza o método de Newton a partir de sua interpretação geométrica.