Ache a área da região limitada pelos gráficos de y = 3^x e pelas retas x = 1 e y = 1 .

Passo 1

O primeiro passo para o cálculo da área de uma região é fazer um esboço. A função parte do ponto ( 0,1 ) e cresce até ( 1,3 ) , onde toca na reta x = 1 . Essa região ainda é limitada por baixo pela reta horizontal y = 1 . A região então fica assim:

Passo 2

Agora calculamos a integral definida, no intervalo [ 0,2 ] :

A = ∫ 0 1 3 x - 1 d x

Sabendo que ∫ 3 x d x = 3 x ln ⁡ 3 + C :

∫ 0 1 3 x - 1 d x = 3 x ln ⁡ 3 - x 0 1 = 3 ln ⁡ 3 - 1 - 1 ln ⁡ 3 = 2 ln ⁡ 3 - 1

Resposta

A = ∫ 0 1 3 x - 1 d x = 2 ln ⁡ 3 - 1

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