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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.10 - Ex. 4

Nos exercícios de 1 a 4, use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação dada com quatro casas decimais.

x 5 + x - 1 = 0

Passo 1

Para iniciar a resolução da questão, o primeiro passo é lembrar que o método busca estimar as raízes de uma equação polinomial, podendo ser tão preciso quanto desejarmos, dependendo apenas da quantidade de repetições do processo sobre uma equação. A análise é feita a partir da seguinte relação:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Com n um número natural, a raiz x n tem precisão de k casas decimais se x n + 1 = x n até a k - é s i m a casa decimal. A função f ( x ) , por sua vez, é identicamente nula, tratada como a função polinomial que representa o lado esquerdo da equação original.

Passo 2

Devemos calcular a função f ' ( x ) , que aparece na relação proposta por Newton. Derivando normalmente:

f ' x = 5 x 4 + 1

Passo 3

Para escolher o valor de x 1 , perceba que f 1 = 1 > 0 e f 0 = - 1 < 0 . Portanto, o valor x 1 = 0,5 é razoável para iniciar o método. Logo, calculemos os valores seguintes até atingir a precisão desejada:

- x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

x 2 = 0,5 - - 0,4375 1,3125

x 2 = 0,8333

- x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2  

x 3 = 0,8333 - 0,2351 3,4109  

x 3 =   0,7643

- x 4 = x 3 - f x 3 f ' x 3  

x 4 = 0,7643 - 0,0251 2,7062  

x 4 = 0,7550

- x 5 = x 4 - f x 4 f ' x 4  

x 5 = 0,7550 - 0,00036 2,6246  

x 5 = 0,7549

- x 6 = x 5 - f x 5 f ' x 5  

x 6 = 0,7549 - 0,000042 2,6238  

x 6 = 0,7549

Resposta

Ou seja, a raiz real da equação x 5 + x - 1 = 0   , com aproximação de quatro casas decimais, é:

x = 0,7549

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