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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 50

No Exercício y = (int_0^x (t^3 + 1)^(10) d t)^3 , determine (d y)/(d x) .

Passo 1

Para determinar o valor de (d y)/(d x) vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: (d)/(d x) int_a^b f ( x ) d x = f (b) . ( b ) '

Passo 2

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos:

y = (int_0^x (t^3 + 1)^(10) d t)^3

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (int_0^x (t^3 + 1)^(10) d t)^3

Usando a regra da cadeia:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (int_0^x (t^3 + 1)^(10) d t)^3 . (d)/(d x) int_0^x (t^3 + 1)^(10) d t

(d y)/(d x) = 3 . (int_0^x (t^3 + 1)^(10) d t)^2 . (d)/(d x) int_0^x (t^3 + 1)^(10) d t

Agora lados basta aplicar o Teorema fundamental do Cálculo:

(d y)/(d x) = 3 . (int_0^x (t^3 + 1)^(10) d t)^2 . (d)/(d x) int_0^x (t^3 + 1)^(10) d t

= 3 . (int_0^x (t^3 + 1)^(10) d t)^2 . (x^3 + 1)^(10) . ( x ) '

= 3 . (int_0^x (t^3 + 1)^(10) d t)^2 . (x^3 + 1)^(10) . 1

= 3 . (int_0^x (t^3 + 1)^(10) d t)^2 . (x^3 + 1)^(10)

Resposta

(d y)/(d x) = 3 . (int_0^x (t^3 + 1)^(10) d t)^2 . (x^3 + 1)^(10)

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