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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 20

Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

20. int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) (t + 1) ( t^2 + 4 ) d t

Passo 1

O passo inicial é simplificarmos essa multiplicação aí, beleza? Sendo assim, teremos:

int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) (t^3 + t^2 + 4 t + 4) d t

Ademais, como sabemos que a integral de uma soma é igual a soma das integrais, podemos reescrever essa integral que acabamos de achar da seguinte forma:

int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) t ³ d t + int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) t ² d t + 4 int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) t + 4 int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) d t

Passo 2

De acordo com a seção 3 do George, temos que:

int_a^b x d x = (b ²)/(2) - (a ²)/(2)

Ademais, também temos que:

int_a^b x ² d x = (b ³)/(3) - (a ³)/(3)

E, seguindo esse mesmo raciocínio:

int_a^b x ³ d x = (b^4)/(4) - (a^4)/(4)

Passo 3

Aplicando o raciocínio descrito no passo 2, teremos:

int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) t^3 d t + int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) t^2 d t + 4 int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) t + 4 int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) d t = (((sqrt(3))^4)/(4) - ((- sqrt(3))^4)/(4)) + (((sqrt(3))^3)/(3) - ((- sqrt(3))^3)/(3))

+ 4 (((sqrt(3))^2)/(2) - ((- sqrt(3))^2)/(2)) + 4 (sqrt(3) - (- sqrt(3)))

Simplificando, teremos:

int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) t^3 d t + int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) t^2 d t + 4 int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) t + 4 int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) d t = (2 (sqrt(3))^3)/(3) + 8 sqrt(3)

:. int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) (t + 1) ( t^2 + 4 ) d t = 10 sqrt(3)

Resposta

int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) (t + 1) ( t^2 + 4 ) d t = 10 sqrt(3)

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