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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 45

No Exercício y = int_0^x sqrt(1 + t^2) d t , determine (d y)/(d x) .

Passo 1

Para determinar o valor de (d y)/(d x) vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: (d)/(d x) int_a^b f ( x ) d x = f (b) . ( b ) '

Passo 2

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos:

y = int_0^x sqrt(1 + t^2) d t

(d y)/(d x) = (d)/(d x) int_0^x sqrt(1 + t^2) d t

Após colocar a derivada dos dois lados basta aplicar o Teorema fundamental do Cálculo:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) int_0^x sqrt(1 + t^2) d t

= (sqrt(1 + x^2)) . ( x ) '

= (sqrt(1 + x^2)) . 1

= (sqrt(1 + x^2))

Resposta

(d y)/(d x) = sqrt(1 + x^2)

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Suponha que f ( 4 ) se int_0^x f ( t ) d t = x cos (pi x) .
Determine a linearização deg (x) = 3 + int_1^(x^2) sec (t - 1) d t Em x = - 1 .
Suponha que int_1^x f ( t ) d t = x^2 - 2 x + 1 . Determine f ( x ) .
Determineunderset(x - oo)(lim) (1)/(sqrt(x )) int_1^x (d t)/(sqrt(t))
Determine a linearização deg (x) = 2 - int_2^(x + 1) (9)/(1 + t) d t Em x = 1 .