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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 84

Determine

underset(x -> oo)(lim) (1)/(sqrt(x )) int_1^x (d t)/(sqrt(t))

Passo 1

Precisamos calcular um limite no infinito de uma função que envolve uma integral. Calma, não se assuste. Vamos começar por determinar que é f ( x ) tal que:

f (x) = int_1^x (d t)/(sqrt(t))

Só depois iremos resolver o limite utilizando as técnicas estudadas em capítulos anteriores.

Passo 2

Vamos começar por descobrir que é f ( x ) . Para isto, vamos resolver a integral indefinida associada a função. Isto é:

int (d t)/(sqrt(t))

Resolvendo esta integral, temos:

int (d t)/(sqrt(t)) = (t^(- (1)/(2) + 1))/((- (1)/(2) + 1)) + k

int (d t)/(sqrt(t)) = 2 sqrt(t) + k

Passo 3

Agora que resolvemos a integral indefinida, vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo para substituir os limites de integração na primitiva da função. Desta forma, temos:

f (x) = (2 sqrt(x) + k) - ( 2 sqrt(1) + k )

f (x) = 2 sqrt(x) - 2

Passo 4

Após descobrirmos que é f ( x ) , vamos substituir no limite.

underset(x -> oo)(lim) (1)/(sqrt(x )) int_1^x (d t)/(sqrt(t)) = underset(x -> oo)(lim) (1)/(sqrt(x )) * 2 (sqrt(x) - 1)

underset(x -> oo)(lim) 2 * (1 - (1)/(sqrt(x))) = 2 * (1 - 0) = 2

Resposta

underset(x -> oo)(lim) (1)/(sqrt(x )) int_1^x (d t)/(sqrt(t)) = 2

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