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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.8 - Ex. 1

Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.

  1. ∫ 1 ∞ x 4 e - x 4 d x
  2. ∫ 1 π 2 sec ⁡ x d x
  3. ∫ 0 2 x x 2 - 5 x + 6 d x
  4. ∫ - ∞ 0 1 x 2 + 5 d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema nosso objetivo é explicar o motivo pelo qual as integrais dadas são impróprias.

Lembra o que é uma integral impropia?

As integrais impróprias são integrais definidas que abrangem uma área ilimitada. Existem dois tipos principais de integrais impróprias:

Integrais com extremidades infinitas:

Nesse caso, pelo menos uma das extremidades do intervalo é estendida até o infinito.

Por exemplo, a integral imprópria ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x é uma integral desse tipo. Ela pode ser entendida como o limite:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x 2 d x  

Quando o limite existe, dizemos que a integral é convergente; quando não existe, dizemos que é divergente.

Integrais com funções ilimitadas:

Nesse caso, a função integrada é ilimitada em pelo menos uma das extremidades do intervalo.

Por exemplo, a integral imprópria ∫ 0 1 1 x d x é uma integral desse tipo. Ela pode ser entendida como o limite:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 1 x d x  

Novamente, quando o limite existe, a integral é convergente; quando não existe, é divergente.

Agora vamos analisae cada um dos casos...

Veja só!

Passo 2

  1. Nesse item foi dada a integral

    2. ∫ 1 ∞ x 4 e - x 4 d x

    A integral é imprópria porque tem ∞ no intervalo de integração, sendo uma integral imprópria do Tipo I como vimos no passo 1!

    Show?

    Passo 3

  2. Nesse caso temos a integral

    3. ∫ 1 π 2 sec ⁡ x d x

    Aqui como y = sec ⁡ x , existe uma descontinuidade infinita em x = π 2 , que pertence ao intervalo 0 , π 2 , assim a integral é imprópria do Tipo II.

    Tranquilo até aqui?

    Passo 4

  3. Agora temos uma integral dada por

    4. ∫ 0 2 x x 2 - 5 x + 6 d x

    Aqui como y = x x 2 - 5 x + 6 = x x - 2 x - 3 , e o intervalo é de 0,2 , existe uma descontinuidade infinita em x = 2 , assim a integral é imprópria do Tipo II.

    Bacana, não é?

    Passo 5

  4. Por fim, temos a integral dada por

∫ - ∞ 0 1 x 2 + 5 d x

A integral é imprópria por que tem ∞ no intervalo de integração, sendo uma integral imprópria do Tipo I.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

  1. É imprópria porque tem ∞ no intervalo de integração.
  2. É imprópria porque existe uma descontinuidade infinita em x = π 2 .
  3. É imprópria porque existe uma descontinuidade infinita em x = 2 .
  4. É imprópria porque tem ∞ no intervalo de integração.
Ver Outros Exercícios desse livro

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Em cada parte, determine se a integral é imprópria e, se for, explique por quê. ∫ 1 + ∞ e - x d x
Calcule as integrais que convirjam. ∫ - ∞ + ∞ e - t 1 + e - 2 t d t
Calcule as integrais que convirjam. ∫ - ∞ + ∞ x x 2 + 3 2 d x
Calcule as integrais que convirjam. ∫ - ∞ + ∞ x x 2 + 2 d x
Calcule as integrais que convirjam. ∫ 2 + ∞ 1 x ln ⁡ x d x