(i) Explique por que a função f tem um ou mais buracos em seu gráfico e estabeleça os valores de x nos quais esses buracos ocorrem. (ii) Determine uma função g cujo gráfico seja idêntico ao de f, mas sem os buracos.

(35) f x = x 2 + x x

Passo 1

(i) Primeiro, vamos entender o que são esses buracos que o enunciado fala.

Esses buracos são os lugares onde a função não está definida, ou seja, onde a imagem não está definida. Isso acontece, geralmente, graças a valores de x onde vamos ter divisões por 0 ou raiz quadrada de número negativo.

No nosso caso ali, temos f x = x 2 + x x . Como não temos uma raiz nessa função, os buracos vão existir se houver alguma divisão por 0 , ou seja, se:

x = 0 .

Olhando para a equação, podemos ver que ela será 0 quando x = 0 , apenas!! Pois 0 é o único valor que possui módulo 0 .

Beleza! Então já resolvemos o primeiro item!

Passo 2

(ii) Para determinar a função com o gráfico idêntico, mas sem buracos, é simples: vamos apenas simplificar alguns termos da função original! Então:

g x = x 2 + x x

Mas antes, vamos escrevê-la como uma função definida por partes. Para isso, devemos lembrar que temos que estudar a função quando x = + x (pegando valores positivos de x ) e quando x = - x (pegando valores negativos de x ). Vamos lá!

Quando x = + x :

g x = x 2 + x x

Quando x = - x :

g x = x 2 - x - x

Logo:

g x = x 2 + x x ,   s e   x ≥ 0 x 2 - x - x ,   s e   x < 0

Passo 3

Agora, sim, vamos olhar para cada condição e simplificar!

Primeiro, para x ≥ 0 :

g x = x 2 + x x

Podemos simplificar o x :

g x = x + 1

Agora, para x < 0 :

g x = x 2 - x - x

Assim, vamos simplificar x :

g x = x - 1 - 1

Trocando o sinal de tudo:

g x = - x + 1

Com isso:

g x = x + 1 ,   s e   x ≥ 0 - x + 1 ,   s e   x < 0

Agora, não temos buracos!! O gráfico dela é:

Resposta

(i)   x = 0

(ii) g x = x + 1 ,   s e   x ≥ 0 - x + 1 ,   s e   x < 0

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