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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 1.3 - Ex. 2

Explique como obter, a partir do gráfico de y = f ( x ) , os gráficos a seguir:

  1. y = 5 f ( x )

  2. y = f ( x - 5 )

  3. y = - f ( x )

  4. y = - 5 f ( x )

  5. y = f ( 5 x )

  6. y = 5 f x - 3

Passo 1

Boa galera, essa questão aqui é sobre transformações de gráfico de funções a partir de constantes.

Nela a gente vai ter que saber quando deslocar, refletir e expandir certa função para chegar em outra, então bora lá!

Primeiro vamos dar uma olhada em como as constantes afetam o gráfico de uma função:

Suponha que c > 0 :

  • y = f x + c , desloca o gráfico de y = f ( x ) em c unidades para cima;
  • y = f x - c , desloca o gráfico de y = f ( x ) em c unidades para baixo;
  • y = f x - c , desloca o gráfico de y = f ( x ) em c unidades para direita;
  • y = f x + c , desloca o gráfico de y = f ( x ) em c unidades para esquerda;

Agora suponha que c > 1 :

  • y = c f x , expanda o gráfico de y = f ( x ) verticalmente por um fator de c ;
  • y = - f ( x ) , reflita o gráfico de y = f ( x ) em torno do eixo x ;

Abaixo temos um gráfico que também vai nos ajudar a visualizar o que ocorre:

Com essas orientações a gente vai conseguir resolver essa atividade.

Passo 2

  1. Para obter o gráfico de y = 5 f ( x ) , temos que alongar o gráfico de f ( x ) na vertical, multiplicando por um fator 5 . Assim, teremos que cada par ordenado do nosso novo gráfico será dado por ( x ,   5 f x ) , por exemplo.

  2. Quando subtraímos algum valor dentro do argumento da função, teremos um deslocamento do gráfico para a direita. Logo, o gráfico dessa função ficará 5 unidades para a direita com relação à f ( x ) .

    3. Passo 3

  3. Quando multiplicamos f ( x ) por - 1 , estamos fazendo com que todos os valores de y que estavam acima do eixo x fiquem negativos, enquanto todos os valores que estavam abaixo do eixo x fiquem positivos. Sendo assim, a nossa função vai ficar refletida com relação ao eixo x .

  4. Para conseguir o gráfico de y = - 5 f ( x ) , temos que fazer o que dito no item (a) e (b): primeiro nós iriamos alongar na horizontal o gráfico de f ( x ) por um fator 5 e, depois, iriamos refletir ele em torno do eixo x , beleza? Ah, e pode fazer isso em qualquer ordem que vai dar a mesma coisa ;)

    5. Passo 4

  5. Quando multiplicamos ou dividimos por um número dentro do argumento da função, estamos alterando o comportamento de seu gráfico na horizontal: a multiplicação faz com que o gráfico fique mais encolhido, enquanto a divisão faz com que ele se expanda. Nesse caso, o nosso gráfico de y = f ( 5 x ) vai ficar mais comprimido na horizontal por um fator 5 com relação à f ( x ) .

  6. Para descobrirmos quem vai ser esse cara, iremos primeiro fazer a mesma coisa que fizemos em (a): expandir o gráfico na vertical por um fator 5 . Depois disso, iremos deslocar ele na vertical – é o que acontece quando somamos ou subtraímos um valor de f x , beleza? Como estamos subtraindo, além dessa expansão, o gráfico vai ficar deslocado 3 unidade para baixo.

Resposta

  1. Expanda f ( x ) na vertical por um fator 5 .

  2. Desloque f ( x ) para a direita em 5 unidades.

  3. Reflita f ( x ) com relação ao eixo x .

  4. Expanda f ( x ) por um fator 5 na vertical e, em seguida, reflita com relação ao eixo x .

  5. Comprima f ( x ) na horizontal por um fator 5 .

  6. Expanda f ( x ) na vertical por um fator 5 e, em seguida desloque ele para baixo em 3 unidades.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Crie uma equação para o gráfico da função a seguir, comprimido verticalmente por um fator de 2. y = 1 + 1 x ² ²
Crie uma equação para o gráfico da função a seguir, alongado horizontalmente por um fator de 3. y = 1 + 1 x ² ²
Crie uma equação para o gráfico da função a seguir, alongado horizontalmente por um fator de 2. y =1 - x ³ ³
Faça o gráfico da função:y = (1)/(x ²) - 1 ²
Faça o gráfico da função: y = x - 1 3 + 2 Comece pelo gráfico de uma das funções padrão apresentadas nas figuras 1.14-1.17 e aplique a mudança adequada.