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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 36

Calcule a integral.

int sen 4 x cos 3 x d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: temos seno e cosseno na expressão, vamos usar então a identidade para transformar tudo em seno:

sen A cos B = (1)/(2) [sen (A - B) + sen (A + B)]

Vamos substituir:

int sen 4 x cos 3 x d x = int (1)/(2) [sen (4 x - 3 x) + sen (4 x + 3 x)] d x = int (1)/(2) [sen x + sen 7 x] d x = int (sen x)/(2) d x + int (sen 7 x)/(2) d x

Passo 2

Vamos calcular as duas integrais separadamente:

A primeira é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int sen x d x = - cos x + C

Então ficamos com:

int (sen x)/(2) d x = (1)/(2) int sen x d x = (1)/(2) (cos x) + C = - (cos x)/(2) + C

Passo 3

A segunda vamos fazer uma Substituição, vamos fazer com que u seja a expressão dentro do seno, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 7 x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 7 d x -> d x = (d u)/(7)

Fazendo a substituição ficamos com:

int (sen 7 x)/(2) d x = int (sen u)/(7 . 2) d u = int (sen u)/(14) d u

Agora usamos o mesmo que usamos para calcular a integral anterior, pois temos a mesma forma:

int (sen u)/(14) d u = (1)/(14) int sen u d u = (1)/(14) (- cos u) + C = - (cos u)/(14) + C

Passo 4

Vamos agora juntar:

int (sen x)/(2) d x + int (sen 7 x)/(2) d x = - (cos x)/(2) - (cos u)/(14) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 7 x :

int sen 4 x cos 3 x d x = int (sen x)/(2) d x + int (sen 7 x)/(2) d x = - (cos x)/(2) - (cos u)/(14) + C = - (cos x)/(2) - (cos 7 x)/(14) + C

Resposta

int sen 4 x cos 3 x d x = - (cos x)/(2) - (cos 7 x)/(14) + C

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