Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 37

Calcule a integral.

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: temos cosseno e tangente na expressão, vamos usar então a identidade abaixo para tentar deixar tudo com seno e/ou cosseno:

Vamos substituir:

Usamos na integral que e a identidade trigonométrica , vamos fazer mais uma manipulação, usando:

Assim:

Passo 2

Vamos calcular as duas integrais separadamente:

A primeira é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

Então ficamos com:

Passo 3

A segunda vamos fazer uma Substituição, vamos fazer com que seja a expressão dentro do cosseno, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

Vamos agora achar a diferencial de , derivando:

Fazendo a substituição ficamos com:

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Vamos usar:

Passo 4

Agora é só juntar:

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso :

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo: